蛇口を閉めても水が出る

蛇口の中にあるパッキンがすり減っているものと考えられます。

蛇口のパッキンを取り替えれば直ります。
ご家庭でも取り替えができますが、不安な場合はお近くの指定給水装置工事事業者に修理を申し込んでください。
修理費用は自己負担になります。
なお、取替の際には水抜栓等で蛇口の水が出ないようにしてから作業してください。